Sinyaller & Sistemler — Formül Defteri

EEF206 · İTÜ · Fourier, DTFT, Z-Dönüşümü, Laplace, Örnekleme

FS FD / CTFT AZFS / DTFS DTFT / AZFD Z-Dönüşümü Laplace Örnekleme

§ 01

Fourier Serisi (Sürekli Zaman)

Sentez (Synthesis)

Fourier Serisi Gösterimi

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \, e^{jk\omega_0 t}

ω₀ = 2π/T₀ = 2πf₀ (temel açısal frekans)

Analiz (Katsayı Formülü)

Fourier Serisi Katsayıları

a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0} x(t)\, e^{-jk\omega_0 t}\, dt

Kutup formu: $a_k = |a_k|\,e^{j\theta_k}$ , $|a_k|=\sqrt{r^2+w^2}$ , $\theta_k=\arctan(w/r)$

Parseval Özelliği

P = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2

Reel Sinyal Koşulu

x(t)\in\mathbb{R} \;\Rightarrow\; a_k = a_{-k}^*

Yani: $|a_k|=|a_{-k}|$ (genlik çift), $\angle a_k = -\angle a_{-k}$ (faz tek)

Özellikler

#	Özellik	$x(t)$	$a_k$
1	Doğrusallık	$Ax_1(t)+Bx_2(t)$	$Aa_k + Bb_k$
2	Zamanda Öteleme	$x(t-t_0)$	$e^{-jk\omega_0 t_0}\,a_k$ ( $\|b_k\|=\|a_k\|$ )
3	Zaman Tersleme	$x(-t)$	$a_{-k}$
4	Konjüge	$x^*(t)$	$a_{-k}^*$
5	Zamanda Ölçekleme	$x(\alpha t)$ (periyot $T_0/\alpha$ )	Aynı $a_k$ , frekans $\alpha\omega_0$
6	Türev	$\dfrac{dx}{dt}$	$jk\omega_0\,a_k$
7	İntegral	$\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau$	$\dfrac{a_k}{jk\omega_0}$ (sadece $a_0=0$ ise)
8	Konvolüsyon	$x_1(t)*x_2(t)$	$T_0\,a_k\,b_k$
9	Çarpım	$x_1(t)\cdot x_2(t)$	$\sum_\ell a_\ell\, b_{k-\ell}$

Önemli Çiftler

$x(t)$ (periyot $T_0$ )	$a_k$	Not
$e^{jn\omega_0 t}$	$\delta[k-n]$	tek harmonik
$\cos(n\omega_0 t)$	$\tfrac{1}{2}$ ( $k=\pm n$ ), $0$ (diğer)	—
$\sin(n\omega_0 t)$	$\tfrac{1}{2j}$ ( $k=n$ ), $-\tfrac{1}{2j}$ ( $k=-n$ )	—
$\sum_{n}\delta(t-nT_0)$	$\dfrac{1}{T_0}$	impuls katarı
Periyodik dikdörtgen (darbe genişliği $2T_1$ )	$\dfrac{2T_1}{T_0}\,\text{sinc}\!\left(\dfrac{k\omega_0 T_1}{\pi}\right) = \dfrac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}$	$a_0=\frac{2T_1}{T_0}$

sinc(x) = sin(πx)/(πx) · sinc(kT₁/T₀) → k'nın T₁/T₀ oranına bağlı değişim

§ 02

Fourier Dönüşümü (CTFT)

İleri Dönüşüm

Fourier Dönüşümü

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt

Ters Dönüşüm

Ters Fourier Dönüşümü

x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega

Özellikler

#	Özellik	$x(t)$	$X(j\omega)$
1	Doğrusallık	$ax(t)+by(t)$	$aX(j\omega)+bY(j\omega)$
2	Zaman Öteleme	$x(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$ (genlik değişmez!)
3	Frekans Öteleme	$e^{j\omega_0 t}x(t)$	$X(j(\omega-\omega_0))$
4	Zaman Tersleme	$x(-t)$	$X(-j\omega)$
5	Konjüge	$x^*(t)$	$X^*(-j\omega)$
6	Ölçekleme	$x(at)$	$\dfrac{1}{\|a\|}X\!\left(j\dfrac{\omega}{a}\right)$ — zaman↓ → frekans↑
7	Türev (zaman)	$\dfrac{d^n x}{dt^n}$	$(j\omega)^n X(j\omega)$
8	İntegral	$\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau$	$\dfrac{1}{j\omega}X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)$
9	Konvolüsyon	$x(t)*h(t)$	$X(j\omega)\cdot H(j\omega)$
10	Çarpım (Mod.)	$x(t)\cdot h(t)$	$\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*H(j\omega)$
11	Dualite	$X(jt)$	$2\pi\,x(-\omega)$
12	Parseval	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\|x(t)\|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\|X(j\omega)\|^2\,d\omega$

Temel Çiftler

$x(t)$	$X(j\omega)$	Koşul
$\delta(t)$	$1$	—
$1$	$2\pi\delta(\omega)$	—
$u(t)$	$\dfrac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$	—
$e^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{a+j\omega}$	$a>0$
$te^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{(a+j\omega)^2}$	$a>0$
$t^n e^{-at}u(t)$	$\dfrac{n!}{(a+j\omega)^{n+1}}$	$a>0$
$e^{-a\|t\|}$	$\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$	$a>0$
$e^{j\omega_0 t}$	$2\pi\delta(\omega-\omega_0)$	—
$\cos(\omega_0 t)$	$\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$	—
$\sin(\omega_0 t)$	$\dfrac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$	—
$\text{rect}\!\left(\dfrac{t}{2T_1}\right)$	$\dfrac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}$	—
$\dfrac{\sin(Wt)}{\pi t}$	$\text{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2W}\right)$	—
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$	$\dfrac{2\pi}{T}\sum_k\delta\!\left(\omega-k\dfrac{2\pi}{T}\right)$	—

Periyodik Sinyalin FD

X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2\pi\, a_k\, \delta(\omega - k\omega_0)

FS katsayılarından direkt FD elde edilir

İdeal Alçak Geçiren Filtre

H(j\omega) = \begin{cases}1 & |\omega|\leq\omega_c \\ 0 & |\omega|>\omega_c\end{cases}

h(t) = sin(ωc·t) / (π·t) → nedensel değil (t<0 için h≠0)

§ 03

Ayrık Zamanlı Fourier Serisi (AZFS)

Sentez

x[n] = \sum_{k=\langle N\rangle} a_k\, e^{jk(2\pi/N)n}

ω₀ = 2π/N (ayrık temel açısal frekans)
N: periyot (tam sayı, rad cinsinden $N = 2\pi/\omega_0$ )

Analiz

a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N\rangle} x[n] \, e^{-jk(2\pi/N)n}

Periyodik katsayılar: $a_{k+N}=a_k$ → sadece N tane bağımsız $a_k$

Özellikler

Özellik	$x[n]$	$a_k$
Doğrusallık	$Ax_1[n]+Bx_2[n]$	$Aa_k+Bb_k$
Zaman Öteleme	$x[n-n_0]$	$e^{-jk\omega_0 n_0}\,a_k$
Frekans Öteleme	$e^{jM(2\pi/N)n}\,x[n]$	$a_{k-M}$
Fark Özelliği	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-jk\omega_0})\,a_k$
Parseval	$\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{n=\langle N\rangle}\|x[n]\|^2 = \displaystyle\sum_{k=\langle N\rangle}\|a_k\|^2$

ℹ

CT ↔ AZ Karşılaştırma: CT-FS'de sonsuz harmonik (

k\in\mathbb{Z}

), AZ-FS'de sadece N tane bağımsız harmonik. CT'de katsayılar sürekli frekansta tanımlı, AZ'de

k

ayrık.

e^{j\omega_0 n}

hem zamanda hem frekansta

2\pi

ile periyodik.

§ 04

DTFT — Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü

İleri Dönüşüm

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\.e^{-j\omega n}

ω: sayısal (dijital) frekans [rad]

Ters Dönüşüm

x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})\,e^{j\omega n}\,d\omega

İntegral herhangi $2\pi$ 'lik aralık üzerinden (örn. $[-\pi,\pi]$ )

⚡ Kritik Özellik — 2π Periyodikliği

X\!\left(e^{j(\omega+2\pi)}\right) = X\!\left(e^{j\omega}\right) \quad \text{(her zaman!)}

→ DTFT her zaman dijital frekansta 2π periyodikdir. Frekans eksenini $[-\pi,\pi]$ ile sınırlamak yeterli.

Özellikler

#	Özellik	$x[n]$	$X(e^{j\omega})$
1	Doğrusallık	$ax[n]+by[n]$	$aX(e^{j\omega})+bY(e^{j\omega})$
2	Zaman Öteleme	$x[n-n_0]$	$e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})$
3	Frekans Öteleme	$e^{j\omega_0 n}x[n]$	$X(e^{j(\omega-\omega_0)})$
4	Zaman Tersleme	$x[-n]$	$X(e^{-j\omega})$
5	Konjüge	$x^*[n]$	$X^*(e^{-j\omega})$
6	Konvolüsyon	$x[n]*h[n]$	$X(e^{j\omega})\cdot H(e^{j\omega})$
7	Çarpım	$x[n]\cdot h[n]$	$\dfrac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})*H(e^{j\omega})$
8	Fark	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})$
9	Kümülatif Toplam	$\sum_{k\leq n}x[k]$	$\dfrac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\delta(\omega)$
10	Frekans Türevi	$n\cdot x[n]$	$j\dfrac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$
11	Parseval	$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\|x[n]\|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\|X(e^{j\omega})\|^2\,d\omega$

Temel Çiftler

$x[n]$	$X(e^{j\omega})$	Koşul
$\delta[n]$	$1$	—
$\delta[n-n_0]$	$e^{-j\omega n_0}$	—
$u[n]$	$\dfrac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega)$	—
$\alpha^n u[n]$	$\dfrac{1}{1-\alpha e^{-j\omega}}$	$\|\alpha\|<1$
$(n+1)\alpha^n u[n]$	$\dfrac{1}{(1-\alpha e^{-j\omega})^2}$	$\|\alpha\|<1$
$\|\alpha\|^{\|n\|}$	$\dfrac{1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos\omega+\alpha^2}$	$\|\alpha\|<1$
$e^{j\omega_0 n}$	$2\pi\displaystyle\sum_{\ell}\delta(\omega-\omega_0-2\pi\ell)$	—
$\cos(\omega_0 n)$	$\pi\sum_\ell[\delta(\omega-\omega_0-2\pi\ell)+\delta(\omega+\omega_0-2\pi\ell)]$	—
$\dfrac{\sin(\omega_c n)}{\pi n}$	$\text{rect}(\omega/2\omega_c)$ , $\|\omega\|\leq\pi$	—

Ayrık Zamanlı Filtreler

İdeal AGF (Alçak Geçiren) \[ H_\text{AGF}(e^{j\omega}) = \begin{cases}1 & |\omega|\leq\omega_c \\ 0 & \omega_c<|\omega|\leq\pi\end{cases} \] \[ h[n] = \frac{\sin(\omega_c n)}{\pi n} \]

İdeal YGF (Yüksek Geçiren)

H_\text{YGF}(e^{j\omega}) = 1 - H_\text{AGF}(e^{j\omega})

h[n] = \delta[n] - \frac{\sin(\omega_c n)}{\pi n}

§ 05

Z-Dönüşümü

Tanım

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\. z^{-n}, \quad z = re^{j\omega}

DTFT ile: $X(e^{j\omega}) = X(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$ (birim çember ROC'ta ise)

Transfer Fonksiyonu

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M}p_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N}d_k z^{-k}}

Fark denkleminden: $\sum d_k \text{ y}[n-k] = \sum p_k\text{ x}[n-k]$

ROC (Yakınsaklık Bölgesi) Kuralları

Sinyal Tipi	ROC Şekli	Kutup İlişkisi
Sağ taraflı (nedensel)	$\|z\|>R_{\max}$	En büyük kutupun dışı
Sol taraflı	$\|z\|	En küçük kutupun içi
İki taraflı	$R_1<\|z\|	Halka bölge
Sonlu uzunluklu (FIR)	Tüm $z$ düzlemi	$z=0$ veya $z=\infty$ hariç

Önemli: ROC, kutup içermez. Birim çember ROC içindeyse → DTFT var.

Temel Z-Dönüşümü Çiftleri

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	Tüm $z$
$\delta[n-n_0]$	$z^{-n_0}$	$z\neq 0$ ( $n_0>0$ )
$u[n]$	$\dfrac{z}{z-1}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\|>1$
$-u[-n-1]$	$\dfrac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\|<1$
$\alpha^n u[n]$	$\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}}=\dfrac{z}{z-\alpha}$	$\|z\|>\|\alpha\|$
$-\alpha^n u[-n-1]$	$\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}}$	$\|z\|<\|\alpha\|$
$n\alpha^n u[n]$	$\dfrac{\alpha z^{-1}}{(1-\alpha z^{-1})^2}$	$\|z\|>\|\alpha\|$
$(n+1)\alpha^n u[n]$	$\dfrac{1}{(1-\alpha z^{-1})^2}$	$\|z\|>\|\alpha\|$
$\cos(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{1-\cos(\omega_0)z^{-1}}{1-2\cos(\omega_0)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{\sin(\omega_0)z^{-1}}{1-2\cos(\omega_0)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

Özellikler

Özellik	$x[n]$	$X(z)$	ROC
Doğrusallık	$ax_1+bx_2$	$aX_1+bX_2$	$\supseteq R_1\cap R_2$
Zaman Öteleme	$x[n-n_0]$	$z^{-n_0}X(z)$	$R$
Z-Ölçekleme	$\alpha^n x[n]$	$X(z/\alpha)$	$\|\alpha\|R$
Zaman Tersleme	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	$1/R$
Z-Domain Türev	$n\cdot x[n]$	$-z\dfrac{dX}{dz}$	$R$
Konvolüsyon	$x[n]*h[n]$	$X(z)H(z)$	$\supseteq R_1\cap R_2$
Konjüge	$x^*[n]$	$X^(z^)$	$R$

Ters Z — Kısmi Kesirler (M < N, basit kökler)

H(z) = \sum_{\ell=1}^{N} \frac{A_\ell}{1-\lambda_\ell z^{-1}}

A_\ell = \left[(1-\lambda_\ell z^{-1})H(z)\right]_{z=\lambda_\ell}

ROC'a göre sağ/sol taraflı sinyal seçilir:
$|z|>|\lambda|$ : $\alpha^n u[n]$ | $|z|<|\lambda|$: $-\alpha^n u[-n-1]$

Kararlılık & Nedensellik

Koşul	ROC	Kutuplar
Nedensel	$\|z\|>R_{\max}$	—
BIBO Kararlı	Birim çember içinde	—
Kararlı + Nedensel	$R_{\max}<1$	Tüm kutuplar $\|z\|<1$
Kararsız	Birim çember ROC dışı	$\exists\|p_k\|\geq 1$

§ 06

Laplace Dönüşümü

Tanım

X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,dt, \quad s = \sigma + j\omega

FD ile: $X(j\omega)=X(s)\big|_{s=j\omega}$ (ROC $j\omega$ eksenini içeriyorsa)

Ters Laplace

x(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} X(s)\,e^{st}\,ds

Pratikte kısmi kesirler + tabloya başvur

Temel Laplace Çiftleri

$x(t)$	$X(s)$	ROC
$\delta(t)$	$1$	Tüm $s$
$u(t)$	$\dfrac{1}{s}$	$\sigma>0$
$e^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{s+a}$	$\sigma>-a$
$-e^{-at}u(-t)$	$\dfrac{1}{s+a}$	$\sigma<-a$
$e^{at}u(-t)$	$\dfrac{1}{s-a}$	$\sigma
$te^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{(s+a)^2}$	$\sigma>-a$
$t^n e^{-at}u(t)$	$\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}$	$\sigma>-a$
$e^{-at}\cos(bt)\,u(t)$	$\dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2}$	$\sigma>-a$
$e^{-at}\sin(bt)\,u(t)$	$\dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}$	$\sigma>-a$
$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\sigma>0$

Özellikler

Özellik	$x(t)$	$X(s)$	ROC
Doğrusallık	$ax_1+bx_2$	$aX_1+bX_2$	$R_1\cap R_2$
Zaman Öteleme	$x(t-t_0)$	$e^{-st_0}X(s)$	$R$
$s$ -Öteleme	$e^{s_0 t}x(t)$	$X(s-s_0)$	$R+\text{Re}\{s_0\}$
Ölçekleme	$x(at)$	$\dfrac{1}{\|a\|}X\!\left(\dfrac{s}{a}\right)$	$aR$
Türev (zaman)	$\dfrac{dx}{dt}$	$sX(s)-x(0^-)$	$\supseteq R$
$n$ .ci türev	$\dfrac{d^n x}{dt^n}$	$s^n X(s)-s^{n-1}x(0^-)- \cdots - x^{(n-1)}(0^-)$	$\supseteq R$
İntegral	$\int_{-\infty}^{t}x\,d\tau$	$\dfrac{1}{s}X(s)$	$R\cap\{\sigma>0\}$
Konvolüsyon	$x(t)*h(t)$	$X(s)H(s)$	$R_1\cap R_2$
$s$ -Domain Türev	$-t\,x(t)$	$\dfrac{d}{ds}X(s)$	$R$
İlk Değer Teor.	$x(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\,X(s)$ (sağ taraflı, süreksizlik yoksa)
Son Değer Teor.	$\lim_{t\to\infty}x(t) = \lim_{s\to 0} s\,X(s)$ (kutuplar sol yarı düzlemde ise)

Ters Laplace — Kısmi Kesirler

Basit kökler

X(s) = \sum_k \frac{A_k}{s-p_k}, \quad A_k = (s-p_k)X(s)\big|_{s=p_k}

m. mertebe tekrarlanan kök

p_0

A_{0,r} = \frac{1}{(m-r)!}\left[\frac{d^{m-r}}{ds^{m-r}}(s-p_0)^m X(s)\right]_{s=p_0}

Diferansiyel denklem → H(s):
$\sum a_k \frac{d^k y}{dt^k} = \sum b_k \frac{d^k x}{dt^k}$ $\;\Rightarrow\; H(s)=\dfrac{\sum b_k s^k}{\sum a_k s^k}$

Kararlılık & Nedensellik

Koşul	ROC / Kutuplar
Nedensel	$\sigma > \sigma_{\max}$ (en büyük kutupun sağı)
BIBO Kararlı	ROC $j\omega$ eksenini içerir
Kararlı + Nedensel	Tüm kutuplar $\text{Re}\{p_k\}<0$
Kararsız	$\exists$ kutup $\text{Re}\{p_k\}>0$

Frekans Yanıtı

H(j\omega) = H(s)\big|_{s=j\omega}

Sadece BIBO kararlı sistemlerde geçerlidir

§ 07

Örnekleme Teoremi

İmpuls Treni Örneklemesi

x_p(t) = x(t)\cdot p(t), \quad p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)

X_p(j\omega) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\!\left(j(\omega-k\omega_s)\right)

ωs = 2π/T = örnekleme (açısal) frekansı
$X_p$ : $X$ 'in ölçeklenmiş kaydırılmış kopyalarının toplamı

Nyquist Örnekleme Kriteri

\omega_s > 2\omega_M \quad \Longleftrightarrow \quad f_s > 2f_M

Terim	Tanım
$\omega_s = 2\pi/T$	Örnekleme frekansı
$\omega_M$	Sinyaldeki maksimum frekans
$2\omega_M$	Nyquist oranı (ωs bu değeri aşmalı)
$\omega_M$	Nyquist frekansı (yarı Nyquist oranı)

İdeal Yeniden Yapılandırma (AGF ile)

Yeniden Yapılandırma Filtresi

H(j\omega) = \begin{cases}T & |\omega|\leq\omega_c \\ 0 & |\omega|>\omega_c\end{cases}

\[ \omega_M < \omega_c < \omega_s - \omega_M \]

Sinc Enterpolasyonu

x_r(t)=\sum_n x(nT)\cdot\frac{\omega_c T}{\pi}\cdot\frac{\sin(\omega_c(t-nT))}{\omega_c(t-nT)}

$\omega_c=\omega_s/2$ seçilirse: $x_r(t)=\sum x(nT)\text{sinc}\!\left(\frac{t-nT}{T}\right)$

Sıfırıncı Dereceden Tutma (ZOH)

ZOH Transfer Fonksiyonu

H_0(j\omega) = e^{-j\omega T/2}\cdot\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}

ZOH Sonrası Gereken Filtre

H_r(j\omega) = \frac{e^{j\omega T/2}H(j\omega)}{2\sin(\omega T/2)}

ZOH → kaba yaklaşım. Doğrusal tutucu (FOH) daha iyi sonuç verir.

Takma (Aliasing)

Takma Koşulu \[ \omega_s < 2\omega_M \;\Rightarrow\; \text{takma (aliasing)!} \]

Frekans Dönüşümü \[ \omega_0 \;\longrightarrow\; \omega_s - \omega_0 \quad (\omega_s/2 < \omega_0 < \omega_s) \]

Sonuç: orijinal frekans daha düşük bir sahte frekansa dönüşür.
ωs=ω₀ ise yeniden yapılandırılan sinyal sabittir (DC).

Analog ↔ Dijital Dönüşüm (ADC / DAC)

Analog → Dijital (ADC)

x_s(t) = x_c(t)\cdot\sum_k\delta(t-kT_s)

X_s(j\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_k X_c\!\left(j\!\left(\omega-k\frac{2\pi}{T_s}\right)\right)

x[n] = x_c(nT_s)

Dijital → Analog (DAC / İdeal)

h(t) = T_s\frac{\omega_c}{\pi}\frac{\sin(\omega_c t)}{\omega_c t}

Koşul: $\omega_s = 2\pi/T_s > 2\omega_c$ (örtüşme olmaması için)

⚡

Özet: ADC:

x_c(t)\xrightarrow{\times p(t)} x_s(t) \xrightarrow{\text{dönüştürücü}} x[n]

. DAC:

x[n]\xrightarrow{\text{impuls}} x_s(t)\xrightarrow{H(j\omega)} x_r(t)\approx x_c(t)

. Nyquist koşulu sağlandığında tam geri kazanım mümkün.

Hızlı Referans — Tutucular

Tutucu	$H(j\omega)$ Büyüklüğü	Çıkış	Not
ZOH (0. dereceden)	$\dfrac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}$	Basamaklı	Süreksiz
FOH (1. dereceden)	$\dfrac{1}{T}\left[\dfrac{\sin(\omega T/2)}{\omega/2}\right]^2$	Doğrusal parçalı	Sürekli
İdeal Sinc	$T$ (geçiş bandında sabit)	Mükemmel	Nedensel değil